求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=

求二元函数z=f(x，y)=x²y(4-x-y)在由直线x+y=6以及x轴和y轴围成的闭区域内的最大值和最小值．
【正确答案】：先求函数在区域D内部的驻点，令 {f_x=2xy(4-z-y)-x²y=0 {f_y=x²(4-x-y)-x²y=0 解得 x=2，y=1．即(2，1)为D内部的唯一驻点，且z(2，1)=4． 在边界x=0(0≤y≤6)和边界y=0(0≤z≤6)上，f(x，y)=0； 在边界x+y=6上，z=f(x，y)=x²(6-x)(-2)，令z′(x)=6x(x-4)=0，得驻点x=4，于是y=6-4=2，从而z(4，2)=-64．比较可知，f(2，1)-4为区域D上的最大值，f(4，2)=-64为区域D上的最小值．