设总体X～N(μ，1)，-∞﹤μ﹤∞，(x1，x2，x3)为其样

设总体X～N(μ，1)，-∞﹤μ﹤∞，(x₁，x₂，x₃)为其样本．试证下述三个估计量：
(1)μ̂₁=(1/5)x₁+(3/10)x₂+(1/2)x₃;
(2)μ̂₂=(1/3)x₁+(1/4)x₂+(5/12)x₃;
(3)μ̂₃=(1/3)x₁+(1/6)x₂+(1/2)x₃;
都是μ的无偏估计，并求出每一估计量的方差，问哪一个方差最小?
【正确答案】：证明： E(μ ̂₁=(1/5)E(x₁)+(3/10)E(x₂)+(1/2)E(x₃)=(1/5)μ+(3/10)μ+(1/2)μ=μ E(μ ̂₂=(1/3)E(x₁)+(1/4)E(x₂)+(5/12)E(x₃) =(1/3)μ+(1/4)μ+(5/12)μ=μ E(μ ̂₃=(1/3)E(x₁)+(1/6)E(x₂)+(1/2)E(x₃)=(1/3)μ+(1/6)μ+(1/2)μ=μ ∴μ ̂₁，μ ̂₂，μ ̂₃都是μ的无偏估计 D(μ ̂₁)=(1/25)D(x₁)+(9/100)D(x₂)+(1/4)D(x₃)=1/25+9/100+1/4=19/50 D(μ ̂₂)=(1/9)D(x₁)+(1/16)D(x₂)+(25/144)D(x₃)=1/9+1/16+25/144=25/72 D(μ₃)=(1/9)D(x₁)+(1/36)D(x₂)+(1/4)D(x₃)=1/9+1/36+1/16=7/18 故μ ̂₂的方差最小．