讨论反常积分∫e+∞的敛散性，其中k为一常数．

讨论反常积分∫_e^+∞的敛散性，其中k为一常数．
【正确答案】：∫_e^+∞(1/xln^kx)dx=∫_e^+∞(1/ln^kx)dlnx= {[1/(-k+1)]x^-k+1|_e^+∞ k≠1 {ln(lnx)|_e^+∞ k=1 所以 当k=1时 ∫_e^+∞(1/xln^kx)=lim_b→+∞[ln(lnb)-0]=+∞ 当k＞1时∫_e^+∞(1/xln^kx)dx=lim_b→+∞∫_e^b(1/xln^kx)dx =lim_b→+∞[b^1-k/(1-k)-e^1-k/(1-k)] =e^1-k/(k-1)+lim_b→+∞1/(1-k)•(1/b^k-1) =e^1-k/(k-1) 当k＜1时 ∫_e^∞(1/xln^kx)dx =lim_b→+∞∫_e^b(1/xln^kx)dx =lim_b→+∞[b^1-k/(1-k)-e^1-k/(1-k) 因此，当k＞1时收敛，当k≤1时发散．