计算二重积分：I=∫∫Df(x，y)dxdy，其中D为x2+y2

计算二重积分：I=∫∫_Df(x，y)dxdy，其中D为x²+y²≤4，f(x，y)=
{1,x²+y²≤1，
xy²，1＜x²+y²≤4．
【正确答案】：利用二重积分的可加性，∫∫_Df(x，y)dxdy=∫∫_D1f(x，y)dxdy+ ∫∫_D2f(x，y)dxdy，其中D₁和 D₂分别是由x²+y²≤1和1＜x²+y²≤4围成的区域，而∫∫_D1f(x，y)dxdy=∫∫_D1dxdy=D₁的面积=π. ∫∫_{Df(x,y)dxdy=π+∫0^2πdθ∫1²rcosθ•r² sin²θ•rdr=π+∫0^2πcosθ•sin²θ•(1/5)r⁵∣1² =π+(31/5)•∫0^2πsin²θd(sinθ)=π+(31/5)•(1/3)sin³θ∣0^2π=π}