证明方程x3-3x+1=0在区间(0，1)内有且只有一个根．

证明方程x³-3x+1=0在区间(0，1)内有且只有一个根．
【正确答案】：令f(x)=x³-3x+1，则f(x)在[0，1]上连续， 又f(0)=1＞0，f(1)=-1<0， 故由零点存在定理知f(x)在(0，1)内至少存在一个零点， 又f(x)在(0，1)内可导，并且 f(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)＜0， 所以 f(x)在[0，1]上单调减少，从而f(x)在(0，1)上最多只有一个零点． 综上所述，f(x)在(0，1)内有并且只有一个零点，即方程x³-3x+1=0，在(0，1)内有且只有一个根．