设α1，α2，…，αn是一组n维向量．证明：α1，α2，…，αn

设α₁，α₂，…，α_n是一组n维向量．证明：α₁，α₂，…，α_n线性无关的充要条件是任意一个n维向量均可被它们线性表出．
【正确答案】：证明：⇒)由题设，单位向量组ε₁，ε₂，…，ε_n，也可由α₁，α₂，…，α_n线性表出，所以r(ε₁，…，ε_n)≤r(α₁，…，α_n)．因为r(ε₁，…，ε_n)=n，所以r(α₁，…，α_n)≥n，又α₁，…，α_n仅有n个向量，所以r(α₁，…，α_n)≤n，因此r(α₁，…，α_n)=n，即α₁，…，α_n线性无关．⇒)设α为任意一个n维向量，则α，α₁，α₂，…，α_n为n+1个n维向量，则它们必然线性相关，又α₁，…，α_n线性无关，所以α可由α₁，α₂，…，α_n线性表出．