设平稳随机过程X(t)的功率谱密度为PX(ω)，试求Y(t)=X

设平稳随机过程X(t)的功率谱密度为PX(ω)，试求Y(t)=X(t)-X(t-T)的自相关函数和功率谱密度。
【正确答案】：Y(t)的自相关函数记作RY(τ)，则 RY(τ)=E{［X(t)-X(t-T)］?［X(t+τ)-X(t+τ-T)］} =E［(X(t)X)(t+τ)］-E［X(t)X(t-τ-T)］ -E［X(t-T)X(t+τ)］+E［X(t-T)X(t-T+τ)］ =RX(τ)-RX(τ-T)-RX(τ+T)+RX(τ) =2RX(τ)-RX(τ-T)-RX(τ+T) 而Y(t)的功率谱密度就是自相关函数RY(τ)的傅里叶变换。根据傅里叶变换的性质，可知若f(t)的傅里叶变换为F(ω)，则f(t-T)的傅里叶变换为e-jωTF(ω)。于是，得功率谱密度为 PY(ω)=2PX(ω)-e-jωTPX(ω)-ejωTPX(ω) =2PX(ω)-2PX(ω)(ejωT+e-jωT2) =2PX(ω)?(1-cosωT)