设非齐次线性方程组{αx1+x2+x3=1{x1+αx2+x3=

设非齐次线性方程组
{αx₁+x₂+x₃=1
{x₁+αx₂+x₃=α，
{x₁+x₂+αx₃=α²
当α取何值时?方程组有唯一解?无解?有无穷多解?并在有无穷多解时求通解．
【正确答案】：对方程组的增广矩阵作初等行变换 (A，β)= (α 1 1 ┆ 1 1 α 1 ┆ α 1 1 α ┆ α₂) → (1 α 1 ┆ α 0 1-α₂ 1-α ┆ 1-α₂ 0 1-α α-1 ┆ α₂-α) 当α=1时，r(A，β)=r(A)=1＜3，方程组有无穷多解，此时 (A，β)= (1 1 1 ┆ 1 0 0 0 ┆ 0 0 0 0 ┆ 0) 方程组的同解方程组为x₁=-x₂-x₃+1，令自由未知量x₂=x₃=0，得方程组的一个特解 η* (1 0 0) 设自由未知量x₂，x₃分别取值 (x₂ x₃) = (1 0)， (0 1)， 得导出组的同解方程组x₁=-x₂-x₃的一个基础解系 ξ₁= (-1 1 0)， ξ₂= (-1 0 1) 故α=1时方程组有无穷多解，且其通解为 (1 0 0) +c₁ (-1 1 0) +c₂ (-1 0 1) (c₁，c₂为任意常数)． 当α≠1时， (A，β)→ (1 α 1 α 0 1+α 1 1+α 0 1 -1 -α) 当1+α=-1即α=-2时，r(A)=2≠r(A，β)=3，故方程组无解． 当α≠1且α≠-2时，r(A)=r(A，β)=3，方程组有唯一解．