设二维连续随机向量(X，Y)的概率密度为：f(x，y)={4xy

设二维连续随机向量(X，Y)的概率密度为：
f(x，y)=
{4xy，0≤x≤1，0≤y≤1；
{0，其他
求：(X，Y)的分布函数F(X，Y)．
【正确答案】：F(x，y)=∫^x_-∞∫^y_-∞f(u，υ)dudυ， 因为f(x，y)是分段表达的，所以要计算F(x，y)比较复杂．因为积分区域在平面上，在不同的积分区域上，F(x，y)的表达式不同．本题中，应在下列区域分别计算F(x，y)： 1°x≤0， 或Y＜0； 2°0≤x≤1，0≤Y≤1； 3°0≤x≤1， Y＞1； 4°x＞1，0≤Y≤1； 5°x＞1， y＞1． 例如：在2°上， F(x，y)=∫^x_y∫^y₀4uυdudυ=∫^x₀2udu∫^y₀2υdυ=x²y²； 在3°上， F(x，y)=∫^x_-∞∫^y_-∞f(u，υ)dudυ， =∫^x₀∫¹₀4uυdudυ+∫^x₀∫^Y₁0dudυ =∫^x₀2udu∫¹₀2υdυ=x²；等等． 在1°上f(x，y)=0，故F(x，y)=0； 在4°上，F(x，y)=∫¹₀∫^y₀4uυdudυ=∫¹₀2udu∫^y₀2udυ=y²； 在5°上， F(x，y)=∫¹₀∫¹₀4uυdudυ+∫^x₁∫^y₁0dudυ=∫¹₀2udu∫¹₀2υdυ=1． 故F(x，y)= {0，x＜0或y＜0； {x²y²，0≤x≤1，0≤y≤1； {x²，0≤x≤1，y＞1； {y²，x＞1，0≤y≤1； {1，x＞1，y＞1．