求下列函数的极值：(1)y=x3-9x2-27；(2)y=x+√

求下列函数的极值：
(1)y=x³-9x²-27；
(2)y=x+√(1-x)；
(3)y=-x⁴+2x²；
(4)y=x²e^-x；
(5)y=3-2(x+1)^1/3．
【正确答案】：(1)令f(x)=y=x³-9x²-27，易知f(x)的定义域为(-∞，+∞)，而 f'(x)=3x²-18x，f''(x)=6x-18， 令f'(x)=0，得x=0或x=6． 当x=0时f'(x)=-18，当x=6时，f'(x)=18，故f(x)在x=0处取得极大值 f(0)=-27，在x=6处取得极小值f(6)=-135． (2)令f(x)=y=x+√(1-x)，则f(x)的定义域为(-∞，1]，而 f'(x)=1+(-1/[2√(1-x)]=[2√(1-x)-1]/[2√(1-x)]， 令f'(x)=0，得x=3/4，列表如下： x (-∞，3/4) 3/4 (3/4，1] f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 故f(x)在x=3/4处取得极大值f(3/4)=5/4． (3)令f(x)=y=-x⁴+2x²，则f(x)的定义域为(-∞，+∞)，而 f'(x)=-4x³+4x，f''(x)=-12x²+4， 令f'(x)=0，得x=0，或±1． f''(0)=4，f''(1)=-12+4=-8，f''(-1)=-8， 所以f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0，在x=±1处取得极大值f(±1)=1． (4)y的定义域为(-∞，+∞)， y'=2xe^-x-x²e^-x，y''=2e^-x-4xe^-x+x²e^-x， 令y'=0，得xc=0或2． 当x=0时y''(0)=2；当x=2时y''(2)=2e^-2． 故y在x=0处取得极小值y(0)=0，在x=2处取得极大值y(2)=4e^-2． (5)y的定义域为(-∞，+∞)， y'=[-(2/3)(x+1)]^-(2/3)＜0， 故y在定义域(-∞，+∞)上为减函数，没有极值．