设某工厂生产甲产品的数量S(吨)与所用两种原料A、B的数量x、y

设某工厂生产甲产品的数量S(吨)与所用两种原料A、B的数量x、y(吨)间有关系式S(x，y)=0.005x²y，现准备向银行贷款150
万元购原料，可知A、B原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?
【正确答案】：据题意可归结为函数S(x,y)=0.005x²y在约束条件x+2y=150下的最大值，故可用拉格朗日乘数法求解 作拉格朗日函数 F(x，y，λ)=0.005x²y+λ(x+2y-150) 求F的一阶偏导数，并令其等于零，得： {F_x′=0.01xy+λ=0 F_y′=0.005x²+2λ=0 x+2y-150=0 解得x=100，y=25，λ=-25． 又只有唯一的一个驻点，且实际问题的最大值是存在的，因此驻点(100，25)也是函数S(x，y)最大值点，最大值为 S(100，25)=0.005×100²×25=1250(吨) 即购进A原料100吨，B原料25吨，可使生产量达到最大值1250吨．