设X服从标准正态分布N(0，1)，求：(1)Y=eX的概率密度；

设X服从标准正态分布N(0，1)，求：
(1)Y=e^X的概率密度；
(2)Y=2X²+l的概率密度；
(3)Y=|X|的概率密度．
【正确答案】：由于X～N(0，1)，则X的概率密度 f_X(x)=(1/√2π)e^-(x2/2)，-∞＜x＜+∞ (1)由函数y=e^x(单增函数)解得x=lny，则x'=1/y• 当y＜0时，F_Y(y)=P(Y≤y)=P(e^X≤Y)=0,f_Y(y)=0； 当y＞0时，F_Y(y)=(1/√π)e^-(lny)2/2•1/y• 所以，随机变量Y=e_X的概率密度． f_Y(y)= {(1/√2π)e^-(lny)2/2•1/y，y＞0； {0 y≤0． (2)当Y＜1时，F_Y(Y)=P(Y≤y)=P(2X²+1≤y)=0， f_Y(y)=0； 当Y＞1时， F_Y(y)=P(Y≤y)=P(2X²+1≤Y) =P(-√(y-1)/2≤X≤√(y-1)/2) =∫^√(y-1)/2_-√(y-1)/2． 由于f_{Y(y)=F'Y(y)，根据积分上限函数导数性质，有 fY(y)=2•(1/2π)e^-[(y-1)/4]•1/2•[(y-1)/2]^1/2•1/2 =(1/√2π(y-1))-e^-(y-1)/4 所以，随机变量Y=2X²+1的概率密度 fY(y)= {1/1/√2π(y-1))-e^-(y-1)/4， y≤1； {0，y≤1. (3)当y＜0时，FY(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤Y)=0，fY(y)=0； 当y≥0时， FY(y)=P(Y≤Y)=P(|X|≤Y)=P(-y≤X≤y) =∫^y-y(1/√2π)e^-(x2/2)dx=2∫^y0(1/√2π)e^-(x2/2)dx 由于fY(y)=F'Y(y)，根据积分上限函数导数的性质，有 fY(y)=2•(1/√2π)e^-(y2/2) 所以，随机变量Y=|X|的概率密度 fY(y)= {(√2/π)e^-(y2/2)，y≥0； {0，y＜0}