设A，B和A+B都是n阶正交矩阵，证明：(A+B)-1=A-1+

设A，B和A+B都是n阶正交矩阵，证明：(A+B)^-1=A^-1+
B^-1.
【正确答案】：因为(A+B)(A^-1+B^-1)=AA^-1+AB^-1+BA^-1+BB^-1 =2E+AB^-1+BA^-1 又A、B和A+B都是n阶正交矩阵 所以 (A+B)(A+B)^T=(A+B)(A^T+B^T) =AA^T+AB^T+BA^T+BB^T =E_n. 又AA^T=E， BB^T=E 所以 A^-1=A^T， B^-1=B^T， E+AB^T+BA^T+E=E 所以 2E+AB^-1+BA^-1=E 所以 (A+B)(A^-1+B^-1)=2E+AB^-1+BA^-1=E 所以 (A+B)^-1=A^-1+B^-1．